Module et argument (2) - Corrigé

Énoncé

Déterminer le module et un argument de  \(z=\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)^n\) avec \(n \in \mathbb{Z}\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{Z}\) . On a \(z=z_0^n \,\text{avec}\, z_0=\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\) . On en déduit que :
\(\begin{align*}\left\vert z \right\vert=\left\vert z_0^n \right\vert=\left\vert z_0 \right\vert^n\ \ \text{ et } \ \\text{arg}(z)\equiv \arg(z_0^n)\equiv n \times \arg(z_0) \ [2\pi].\end{align*}\)

Calculons le module et un argument de \(z_0\) . On a :
\(\begin{align*}\left\vert z_0 \right\vert= \left\vert \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i \right\vert& = \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}= \sqrt{\frac{9}{16}+\frac{3}{16}}= \sqrt{\frac{12}{16}}= \sqrt{\frac{3}{4}}= \frac{\sqrt{3}}{2}.\end{align*}\)

Et, soit \(\theta\) un argument de \(z_0\) . On a alors :
\(\left\lbrace \begin{array}{l}\cos\theta=\dfrac{\frac{3}{4}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{6}\\\sin\theta=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}=\sin\dfrac{\pi}{6}\end{array} \right.\)
donc \(\theta \equiv \dfrac{\pi}{6} \ [2\pi]\) .

Finalement :
\(\begin{align*}\left\vert z \right\vert = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\ \ \text{ et } \ \\arg(z)\equiv \frac{n\pi}{6} \ [2\pi].\end{align*}\)